Progressão aritmética

Definimos Progressão Aritmética (P.A) como sendo uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior com uma constante. Na P.A temos a presença de uma constante chamada de razão (r), sendo a mesma obtida por meio da diferença de um termo da sequência pelo seu anterior. Confira alguns

exemplos:A sequência (1, 4, 7, 10, 13, 16) é uma P.A.
A razão da P.A é representada por r = 4 – 1 = 3

A sequência (1, 6, 11, 16, 21…) é uma P.A.
A razão da P.A é representada por r = 6 – 1 = 5

Classificação das Progressões aritméticas

As progressões aritméticas podem ser classificadas em: crescente, decrescente e constante.

Crescente: Para que uma P.A seja crescente a sua razão (r) deve ser positiva, ou seja, r > 0. A sequência numérica será crescente quando, cada termo a partir do segundo for maior que o antecessor. Exemplo: (1, 3, 5, 7, …) é uma P.A crescente de razão 2.

Decrescente: Uma P.A será decrescente se a sua razão (r) for negativa, ou seja, r < 0. A sequência numérica será decrescente quando, cada termo a partir do segundo for menor que o antecessor. Exemplo: (15, 10, 5, 0, -5 …) é uma P.A decrescente de razão – 5.

Constante: Para uma P.A ser constante a sua razão deve ser nula, ou seja, r = 0. Todos os seus termos serão iguais. Exemplo: (2, 2, 2, …) é uma P.A constante de razão nula.

Fórmula do termo geral de uma Progressão aritmética

Quando partimos do primeiro termo da sequência, a fórmula do termo geral de uma P.A (a1, a2, a3, …,, an, …) de razão r é representada por:

an=a1+(n1)r

  • an = Termo geral
  • a1 = Primeiro termo da sequência.
  • n = Número de termos da P.A. ou posição do termo numérico na P.A
  • r = Razão

Exemplo: Determine o 20º termo da P.A. (2, 4, 6, 8 …)

Dados da questão: a1 = 2, r = 2, n = 20, a20 = ?

an=a1+(n1)r

a20=2+(201)2

a20=2+(19)2

a20=2+38=40

O vigésimo termo da P.A. é 40.

Exemplo: Determine o número de termos da P.A.(5, 10, 15,…, 120).

Dados da questão: a1 = 5, r = 5, n = ?, an = 120

an=a1+(n1)r

120=5+(n1)5

120=5+5n5

5n=+55120

5n=0120

5n=120(1)

5n=120

n=1205=24

A progressão aritmética (5, 10, 15,…, 120), possui 24 termos.

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

→ Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

ak=ak1+ak+12 , (k2)

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

a5=a4+a62

→ A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

a1,a2,a3,a4,...,an3,an2,an1,an

a2+an1=a3+an2=a4+an3=...=a1+an

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que a PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10, logo:

a4=a1+a72=1+192=10

Soma dos termos de uma PA finita

É dada pela fórmula:

Sn=(a1+an)n2

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Saiba Um pouco Mais

A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números reais determinada por uma constante r, denominada de razão da PA ou diferença comum.

De tal modo, a razão da progressão aritmética é encontrada pela soma entre um número e outro (exceto o primeiro) que compõem a sequência numérica.

Em resumo, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (PG), pois nesta os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

Exemplos de PA

Para entender melhor o conceito, vejamos os exemplos abaixo de PA finita e infinita:

  • (5,5,5,5,5…an) PA finita de razão 0
  • (4,7,10,13,16…an…) PA infinita de razão 3
  • (70,60,50,40,30…an) PA finita de razão -10

Observe que para calcular a razão da PA basta calcular a diferença entre um dos termos (a partir do segundo) e o termo que o antecede:

Progressão Aritmética

Sendo assim,

Progressão Aritmética

Classificação das Progressões Aritméticas

Segundo o valor da razão das progressões aritméticas, elas são classificadas em:

PA Constante

Na Progressão Aritmética (PA) constante, a razão (r) será sempre zero (r = 0), por exemplo: (4,4,4,4,4…).

PA Crescente

Na Progressão Aritmética (PA) crescente a razão (r) é maior que zero (r > 0), por exemplo: (2,4,6,8,10…) com razão 2.

PA Decrescente

Na Progressão Aritmética (PA) decrescente a razão (r) será menor que zero (r < 0), por exemplo: (6,3,0,-3,-6…), com razão igual a -3.

Fique Atento!!!

Observe que se escolher três termos da PA, o termo central será um valor resultante da média aritmética entre os dois termos, por exemplo: (1,5,9) PA de razão 4, donde:

5= 1+9 / 2

Fórmula do Termo Geral

A fórmula do termo geral da PA nos permite conhecer qualquer termo da progressão aritmética, dado pela seguinte expressão:

Progressão Aritmética

Onde,

an= último termo da PA

a1: primeiro termo daPA

n: posição do termo

r: razão

Soma dos Termos da PA

Para encontrar a soma dos termos de uma PA finita, basta utilizar a fórmula:

Progressão Aritmética

Donde

Sn: soma dos n primeiros termos da PA

a1: primeiro termo da PA

an= ocupa a enésima posição na sequência

n: posição do termo

Exercício Resolvido

Calcule o 10° termo da PA: (26, 31, 36, 41)

Antes de mais nada, devemos atentar aos valores de a1 e a razão (r) da PA. Assim, temos:

a1: 26

r: 31-26=5

Feito isso, colocamos os valores na fórmula do termo geral:

Progressão Aritmética

a10 = 26 + (10-1) . 5

a10 = 26 + 9 .5

a10 = 71

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